📋 Универсальный алгоритм перевода

1. Делим исходное число на основание новой системы счисления (q)
2. Запоминаем остаток — это будет одна из цифр результата
3. Берём целую часть от деления и повторяем процесс, пока не получим ноль
4. Собираем число из остатков, записывая их справа налево (начиная с последнего остатка)

🧩 Задача со звёздочкой

Пример 4. В каких системах счисления запись числа 22₁₀ оканчивается на 4?

Если число заканчивается на 4, значит остаток от деления 22 на основание q равен 4:

• 22 mod q = 4
• Следовательно, (22 - 4) mod q = 0, то есть 18 делится на q нацело
• Делители 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
• Но так как запись оканчивается на 4, основание должно быть больше 4

Подходят: q ∈ {6, 9, 18}

💡 Идея метода

Представь число как сумму степеней двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...), начиная с наибольшей.

Пример: Переведём 1096₁₀ в двоичную систему

1. Ближайшая степень двойки, не превосходящая 1096: 1024 = 2¹⁰
2. Остаток: 1096 - 1024 = 72
3. Ближайшая степень к 72: 64 = 2⁶
4. Остаток: 72 - 64 = 8 = 2³
5. Остаток: 0

Итого: 1096 = 1024 + 64 + 8 = 2¹⁰ + 2⁶ + 2³

В двоичной записи ставим 1 в разрядах 10, 6 и 3 (считая справа с нуля):

1096₁₀ = 10001001000₂

🎮 Где это применяется?

Этот метод особенно удобен, когда работаешь с памятью компьютера (256 МБ, 512 ГБ, 1024 пикселя) — все эти числа кратны степеням двойки! Именно поэтому в играх разрешение экрана часто бывает 1920×1080, 2560×1440 — эти числа удобно представлять в двоичной системе.

Пример 5. Переведём 1234₅ в шестеричную систему

Шаг 1: Переводим в десятичную:

1234₅ = 1·5³ + 2·5² + 3·5¹ + 4·5⁰
      = 125 + 50 + 15 + 4
      = 194₁₀

Шаг 2: Переводим из десятичной в шестеричную:

194 ÷ 6 = 32, остаток 2
32  ÷ 6 = 5,  остаток 2
5   ÷ 6 = 0,  остаток 5

Результат: 194₁₀ = 522₆

Итог: 1234₅ = 522₆

📋 Алгоритм перевода дробей

1. Умножаем дробную часть на основание q
2. Записываем целую часть результата — это цифра дроби
3. Берём дробную часть результата и повторяем, пока она не станет равна нулю (или пока не достигнем нужной точности)
4. Собираем дробь, записывая цифры слева направо (в порядке получения)

Пример 6. Переведём 0,1875₁₀ в двоичную систему

0,1875 × 2 = 0,375  → цифра 0
0,375  × 2 = 0,75   → цифра 0
0,75   × 2 = 1,5    → цифра 1
0,5    × 2 = 1,0    → цифра 1

Результат: 0,1875₁₀ = 0,0011₂

⚠️ Важно!

Не все десятичные дроби имеют конечную запись в других системах. Например, 0,1₁₀ в двоичной системе — бесконечная дробь (именно поэтому компьютеры иногда "ошибаются" в вычислениях с дробями!).

Пример 7. Из двоичной в восьмеричную: 11010100111₂ → ?₈

1. Разбиваем справа налево на триады: 11.010.100.111
2. Дополняем левую группу нулём: 011.010.100.111
3. Заменяем каждую триаду: 3.2.4.7

Результат: 11010100111₂ = 3247₈

Пример 8. Из шестнадцатеричной в двоичную: 16AC₁₆ → ?₂

1. Заменяем каждую цифру тетрадой: 0001.0110.1010.1100
2. Убираем незначащие нули слева: 1.0110.1010.1100

Результат: 16AC₁₆ = 1011010101100₂

Пример 9. Из восьмеричной в шестнадцатеричную: 67252₈ → ?₁₆

1. Переводим в двоичную (триадами): 110.111.010.101.010
2. Разбиваем на тетрады справа налево: 110.1110.1010.1010
3. Дополняем слева: 0110.1110.1010.1010
4. Заменяем тетрадами: 6.E.A.A

Результат: 67252₈ = 6EAA₁₆

Пример 10. Дробные числа: 0,101100011₂ → ?₁₆

1. Разбиваем слева направо на тетрады: 0,1011.0001.1
2. Дополняем правую группу справа нулями: 0,1011.0001.1000
3. Заменяем тетрадами: 0,B.1.8

Результат: 0,101100011₂ = 0,B18₁₆