💡 Важно понять

Самым первым видом данных, с которыми начали работать компьютеры, были именно числа. ЭВМ первого поколения могли производить только математические расчёты (вычисления). Сегодня компьютеры работают с целыми и вещественными числами, и их представление в памяти осуществляется разными способами.

🎯 Зачем вообще нужны целые числа в компьютере?

Целые числа используются в задачах экономического характера (количества акций, сотрудников, деталей), для обозначения даты и времени, для нумерации различных объектов: элементов массивов, записей в базах данных, машинных адресов.

Интересный парадокс: любое целое число можно представить как вещественное с нулевой дробной частью (например, 42 = 42.0). Но компьютер всё равно хранит их отдельно. Почему?

📌 Ключевая идея

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда.

🔧 Алгоритм прост до безобразия:

1. Переводим число в двоичную систему счисления
2. Дополняем слева нулями до нужного количества разрядов (обычно 8, 16, 32 или 64)

📊 Пример для 8-битного представления

Числа 130 и 39 в 8-битном представлении:

130₁₀ = 10000010₂
39₁₀  = 00100111₂

⚠️ Критическое ограничение

В n-разрядной ячейке можно хранить числа только от 0 до 2ⁿ−1.

Как ты думаешь: почему максимальное значение для 8 бит именно 255? (Подсказка: 2⁸ − 1 = 256 − 1)

📝 Прямой код: интуитивно, но неудобно

Прямой код — это представление числа в привычной для человека форме «знак–величина», при которой старший разряд ячейки отводится под знак (0 — для положительных, 1 — для отрицательных чисел), а остальные разряды — под цифры числа.

📊 Пример для 8-битной ячейки

Прямые коды чисел 48 и −52:

+48₁₀ → 00110000₂
−52₁₀ → 10110100₂

❌ Проблема прямого кода

В прямом коде числа можно хранить, но выполнение арифметических операций затруднено — оно требует более сложной архитектуры центрального процессора, «умеющего» выполнять не только сложение, но и вычитание, а также «знающего» особый алгоритм обработки не имеющего «веса» знакового разряда.

Есть решение получше…

💡 Ключевая идея

Числа 999, 998, 997 можно рассматривать как коды чисел −1, −2, −3!

Проверим:

001 + 999 = 1000 (единица переполнения теряется → 000) ✓
002 + 998 = 1000 → 000 ✓
003 + 997 = 1000 → 000 ✓

Работает! Это и есть суть дополнительного кода.

🔧 Алгоритм получения дополнительного кода для отрицательного числа

1. Берём модуль числа, представляем прямым кодом в n двоичных разрядах
2. Инвертируем все биты (все нули заменить единицами, а единицы — нулями)
3. Прибавляем 1 к полученному представлению

📊 Пример: найдём 16-разрядный дополнительный код для −2017₁₀

✨ Магия в действии: вычитание превращается в сложение!

Как известно, 48 − 2017 = −1969. Выполним эту операцию в 16-разрядных машинных кодах:

  0000000000110000  (прямой код числа 48)
+ 1111100000011111  (дополнительный код числа −2017)
─────────────────
  1111100001001111  (результат в дополнительном коде)

Чтобы расшифровать результат, применяем те же операции (инвертирование + 1) и получаем −1969. Работает!

🤔 Как ты думаешь?

Почему использование дополнительного кода позволяет свести операцию вычитания чисел к операции поразрядного сложения кодов этих чисел? Какие преимущества это даёт процессору?

⚠️ Важное следствие

Максимальное положительное число, которое можно записать в знаковом представлении в n разрядах, равно 2ⁿ⁻¹ − 1.

В математике множество целых чисел бесконечно.
Компьютер работает с ограниченным множеством целых чисел.

🤔 Парадокс для размышления

В математике между любыми двумя вещественными числами лежит бесконечное множество других вещественных чисел. Например, между 12.34 и 12.35 есть 12.341, 12.3412, 12.34123… и так до бесконечности.

Как компьютер с его конечной памятью может это представить?

Спойлер: никак. Компьютер может хранить только приближения большинства вещественных чисел.

📊 Две формы записи вещественных чисел

В жизни мы чаще пользуемся естественной формой записи чисел, при которой число представляется последовательностью десятичных цифр со знаком плюс или минус, для разделения целой и дробной частей числа используется запятая.

Примеры: 12,34; 0,0056; −708,9

📌 Определение

В экспоненциальной форме вещественное число a представляется как:

a = ± m · qᵖ

где:

• m — мантисса числа (значащие цифры)
• q — основание системы счисления
• p — порядок числа (показатель степени)

📊 Пример: число 47,8 см можно записать так

1. 478 · 10⁻¹ см
2. 47,8 · 10⁰ см
3. 4,78 · 10¹ см
4. 0,478 · 10² см
5. 0,000478 · 10⁵ см

Все эти записи корректны, но какая "правильная"?

💡 Определение (стандарт IEEE 754)

Нормализованная запись отличного от нуля вещественного числа — это запись вида:

a = ± m · qᵖ

где:

• p — целое число (положительное, отрицательное или ноль)
• m — дробь, целая часть которой содержит одну значащую (ненулевую) цифру
• 1 ≤ m < q

Другими словами, перед точкой (запятой) должна стоять ровно одна ненулевая цифра.

📊 Примеры нормализации чисел

🔢 Устройство нашего калькулятора

• 6 знакомест отводится под мантиссу (одно знакоместо — под знак мантиссы, четыре — под цифры мантиссы, одно — под точку)
• 1 знакоместо отводится под символ «E»
• 3 знакоместа отводятся под порядок (одно — под знак порядка, два — под цифры порядка)

🤔 Интересный эксперимент

Число 12,34 в таком калькуляторе будет представлено как: +1.234E+01

Число 12,35 будет представлено как: +1.235E+01

А что с числом 12,341?

Оно тоже отобразится как +1.234E+01, потому что для последних разрядов не хватает места!

⚠️ Критическое следствие

Это означает, что наш калькулятор не различает числа 12,34, 12,341, 12,3412 и так далее — все они округляются до 12,34.

Вот почему в компьютере:

0.1 + 0.2 == 0.3  # False!
0.1 + 0.2  # 0.30000000000000004

📌 Главный вывод

Получается, что точно мы можем представить в компьютере лишь некоторую конечную часть множества вещественных чисел, а остальные числа — лишь приближённо.

Таким образом, множество вещественных чисел, представляемых в компьютере, дискретно, конечно и ограничено.

⚠️ Практические последствия

Диапазон вещественных чисел в памяти компьютера очень широк, но, тем не менее, ограничен. Множество вещественных чисел, которые могут быть представлены в компьютере, конечно.

• Точность ограничена количеством разрядов для мантиссы и порядка
• Большинство вещественных чисел хранятся приближённо
• Эффекты округления неизбежны и могут накапливаться
• Никогда не сравнивайте вещественные числа на точное равенство!