Высказывания и логические связки
Привет! Сегодня мы погрузимся в увлекательный мир математической логики — основы, на которой строится всё: от программирования до искусственного интеллекта. Готов разобраться, как математики работают с правдой и ложью? Поехали!
Что такое высказывание?
Представь, что ты пишешь сообщение другу. Некоторые твои фразы можно однозначно проверить: правда это или нет. Именно такие утверждения в математике называют высказываниями.
💡 Определение
Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
✅ Это высказывания
- "Я сейчас дома" — можно проверить
- "Число 5 — нечётное" — истина
- "2 + 2 = 5" — ложь
- "В игре Minecraft можно строить из блоков" — истина
- "Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году" — истина
❌ Это НЕ высказывания
- "Как дела?" — вопрос
- "Сделай домашку!" — команда
- "Эта игра самая интересная" — мнение
- "Запишите домашнее задание" — просьба
- "Какой прогноз в библиотеку?" — непонятно
🤔 Важный момент!
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.
Например: "Это предложение является ложным" — нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.
Высказывательная форма
Часто нам нужно говорить не о конкретном числе, а о любом числе из какого-то диапазона. Для этого используют переменные.
Переменная в высказывательной форме может принимать разные значения
💡 Определение
Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные заменяются конкретными значениями.
📱 Примеры из жизни
Пример 1: "X — простое число" — это форма
- При X = 2 получаем: "2 — простое число" (истина)
- При X = 4 получаем: "4 — простое число" (ложь)
- При X = 5 получаем: "5 — простое число" (истина)
Пример 2: "X < 12" — становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением:
- "5 < 12" — истинное высказывание
- "12 < 12" — ложное высказывание
🎯 Область истинности
Множество тех значений переменной, при которых получаются истинные высказывания, называют областью истинности высказывательной формы.
Например: для формы "X — простое число" область истинности — это множество всех простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Простые и составные высказывания
Высказывания бывают двух типов: простые (элементарные) и составные (сложные).
🔹 Простые высказывания
Отражают отношения между двумя объектами или описывают некоторое свойство объекта.
Примеры:
- "Na — металл" (свойство объекта)
- "3 + 5 = 2 · 4" (отношение между объектами)
Важно: Никакая часть простого высказывания сама не является высказыванием.
🔸 Составные высказывания
Строятся из простых с помощью логических связок И, ИЛИ, НЕ.
Примеры:
- "Второй закон Ньютона выражается формулой F = m · a" (истинное)
- "Периметр прямоугольника с длинами сторон a и b равен a · b" (ложное)
⚠️ Важно знать!
Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства.
Например:
- "3 + 5 = 2 · 4" (истинное высказывание)
- "11 + VI > VIII" (ложное высказывание)
Логическая связка НЕ (отрицание)
Самая простая логическая операция — это отрицание. Когда ты говоришь "это НЕ так", ты переворачиваешь правду и ложь.
Связка НЕ переворачивает истину и ложь
💡 Определение
Составное высказывание со связкой НЕ содержит одно простое высказывание. Составное высказывание со связкой НЕ истинно, если содержащееся в нём простое высказывание ложно.
📝 Примеры
Простое высказывание:
"Число 5 является чётным" (ложь)
С НЕ:
"Число 5 НЕ является чётным" (истина)
Простое высказывание:
"Последняя буква в слове 'логика' является гласной" (истина)
С НЕ:
"Последняя буква в слове 'логика' НЕ является гласной" (ложь)
💡 Лайфхак для составления отрицаний
Работать со связкой НЕ достаточно сложно. В высказываниях на русском языке логическая связка НЕ ставится в середине высказывания, и не всегда бывает понятно, где именно её следует поставить.
Чтобы избежать двусмысленности, рекомендуется выбирать один из двух вариантов:
- Использовать речевой оборот "неверно, что..." и всегда ставить его перед исходным высказыванием
- Строить отрицание к сказуемому, добавляя к соответствующему глаголу частицу "не"
🎯 Примеры построения отрицаний
Исходное: "Петя решил правильно все задания контрольной работы"
Отрицание (способ 1): "Неверно, что Петя решил правильно все задания контрольной работы"
Отрицание (способ 2): "Петя НЕ решил правильно все задания контрольной работы"
Отрицание (способ 3): "Петя решил НЕправильно все задания контрольной работы"
Очевидно, второе из этих высказываний имеет совсем иной смысл, чем первое и третье.
Логическая связка И (конъюнкция)
Когда ты говоришь другу: "Я сделал математику И написал сочинение", ты утверждаешь, что выполнены ОБА дела. Если хоть одно не сделано — ты солгал.
Связка И требует выполнения ОБОИХ условий
💡 Определение
Составное высказывание со связкой И содержит два простых высказывания. Составное высказывание со связкой И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящие в него простые высказывания.
📝 Примеры
- "Число 324 делится на 7" И "Число 324 делится на 5" — ложь (второе неверно)
- "Число 324 делится на 7" И "Число 324 делится на 3" — ложь (первое неверно)
- "Число 324 делится на 7" И "Число 324 делится на 2" — ложь (первое неверно)
- "Число 324 делится на 3" И "Число 324 делится на 2" — истина (оба верны)
- "Число 324 делится на 5" И "Число 324 делится на 2" — ложь (первое неверно)
- "Число 324 делится на 3" И "Число 324 делится на 2" — истина (оба верны)
🔍 Примеры отрицаний со связкой И
Исходное высказывание: "У меня дома есть компьютер"
Отрицание: "Неверно, что у меня дома есть компьютер" или "У меня дома нет компьютера"
Исходное высказывание: "Я не знаю китайский язык"
Отрицание: "Неверно, что я не знаю китайский язык" или "Я знаю китайский язык"
Исходное высказывание: "Все юноши 8-х классов — отличники"
Отрицание: "Неверно, что все юноши 8-х классов — отличники" или "Не все юноши 8-х классов — отличники"
Логическая связка ИЛИ (дизъюнкция)
А вот когда говоришь: "Я поеду на море ИЛИ в горы", достаточно сделать хоть что-то одно (или даже оба варианта), чтобы фраза была правдой.
Связка ИЛИ — достаточно одного истинного условия
💡 Определение
Составное высказывание со связкой ИЛИ содержит два простых высказывания. Составное высказывание со связкой ИЛИ ложно тогда и только тогда, когда ложны оба входящие в него простые высказывания.
📝 Примеры
- "Число 324 делится на 7" ИЛИ "Число 324 делится на 5" — ложь (оба неверны)
- "Число 324 делится на 7" ИЛИ "Число 324 делится на 3" — истина (второе верно)
- "Число 324 делится на 7" ИЛИ "Число 324 делится на 2" — истина (второе верно)
- "Число 324 делится на 5" ИЛИ "Число 324 делится на 3" — истина (второе верно)
- "Число 324 делится на 5" ИЛИ "Число 324 делится на 2" — истина (второе верно)
- "Число 324 делится на 3" ИЛИ "Число 324 делится на 2" — истина (оба верны — и это тоже истина!)
⚠️ Важный момент!
В обычной жизни связка ИЛИ часто означает "либо одно, либо другое", т.е. употребляется в исключающем смысле. Вспомните, например, диагноз, который поставил доктор Буратино: "Одно из двух: или пациент жив, или пациент умер".
Но в математике и программировании ИЛИ воспринимается в неисключающем смысле — "или то, или это, или оба сразу".
Пример: Высказывание "Иван может перекусить бутербродом ИЛИ яблоком" означает, что Иван может взять бутерброд, яблоко, или и то, и другое.
🌐 Интересный факт
Рассмотрите следующие высказывания:
- "Основоположником алгебры логики является Джордж Буль", "Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике"
- "Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике"
- "Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу", "Лейбниц является основоположником бинарной арифметики"
- "Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу, или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики"
Можете ли вы сделать вывод об истинности третьего высказывания, предварительно выяснив с помощью Интернета истинность первых двух высказываний?
Сводная таблица логических связок
Для удобства запоминания соберём все правила в одну таблицу.
| Логическая связка | Когда истинна | Когда ложна |
|---|---|---|
| НЕ (отрицание) | Когда простое высказывание ложно | Когда простое высказывание истинно |
| И (конъюнкция) | Когда оба простых высказывания истинны | Когда хотя бы одно простое высказывание ложно |
| ИЛИ (дизъюнкция) | Когда хотя бы одно простое высказывание истинно | Когда оба простых высказывания ложны |
📌 Самое главное
Давайте подведём итоги нашего путешествия в мир математической логики:
💡 Проверь себя
Проверь, как хорошо ты усвоил материал!
1. Детектив высказываний
Обсуди в группе: почему следующие предложения НЕ являются высказываниями?
- а) Какого цвета этот дом?
- б) Число X не превосходит единицы.
- в) 4X + 3.
- г) Посмотрите в окно.
- д) Найти томатный сок!
- е) Эта тема скучна.
- ж) Гарри Стайлс — самый популярный певец.
- з) Вы были в театре?
Подсказка: Вспомни, что высказывание должно содержать утверждение, которое можно проверить на истинность или ложность.
2. Найди высказывания вокруг себя
Приведи по одному примеру простых истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы.
Обрати внимание: твои высказывания отражают свойство объекта или отношение между двумя объектами?
Например:
- Свойство объекта: "Земля круглая"
- Отношение между объектами: "Волга длиннее Дона"
3. Магические числа
При каких значениях переменной высказывательная форма "X — простое число" становится истинным высказыванием?
- а) 2
- б) 4
- в) 5
- г) 9
Челлендж: Назови все простые числа от 1 до 20!
4. Ищем истину в словах
При каких значениях переменной высказывательная форма "В слове X вторая буква — гласная" становится истинным высказыванием?
- а) автобус
- б) аэропорт
- в) встреча
- г) метро
5. Строим отрицания
Построй отрицания следующих высказываний (используй оборот "Неверно, что..."):
- а) Сегодня в театре идёт опера "Евгений Онегин".
- б) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
- в) Число 1 есть простое число.
- г) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.
- д) Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
- е) Наташа выполнила все задания домашней работы по информатике.
Совет: Можно использовать два способа — добавить "Неверно, что..." или добавить частицу "не" к нужному слову.
6. Союзы И, НО, А, ХОТЯ
В жизни мы часто пользуемся высказываниями с союзами «а», «но», «хотя». Например:
- а) "Зимой Ирина любит кататься на коньках, а Денис — на лыжах"
- б) "Денис выполнил задания самостоятельной работы, но забыл сдать на проверку тетрадь с решениями"
- в) "На день рождения Саше подарили планшет, хотя он мечтал о щенке"
Выдели в этих утверждениях простые высказывания и переформулируй их так, чтобы получились составные высказывания со связкой И.
Подсказка: Связка И просто соединяет два факта без дополнительных оттенков смысла.
7. Охота за истиной ⭐
Укажи такие значения переменной X, при которых высказывательная форма (X < 20) И (X >= 10) превратится в истинное высказывание:
- а) 5
- б) 10
- в) 15
- г) 20
Подсказка: Связка И требует, чтобы выполнялись ОБА условия одновременно!
8. Или то, или это ⭐
Укажи такие значения переменной X, при которых высказывательная форма (X > 20) ИЛИ (X <= 10) превратится в ложное высказывание:
- а) 5
- б) 10
- в) 15
- г) 20
Подсказка: ИЛИ ложно только тогда, когда ложны ОБА простых высказывания. Какие числа не подходят ни под одно условие?
9. Загадка про имя ⭐
Для какого имени ложно высказывание "НЕ (Первая буква гласная И Последняя буква гласная)"?
- а) Данила
- б) Ирина
- в) Светлана
- г) Максим
Подсказка: Сначала определи, когда выражение в скобках истинно (обе буквы гласные), а потом примени НЕ!
10. Дополнительные задачи из учебника
- ж) В любой школе некоторые ученики интересуются спортом.
- з) Некоторые млекопитающие не живут на суше.
- и) Неверно, что для прогулки подойдёт не любое время после 16:00.
- к) 5 < 4.
- л) 12 > 100.
- м) 501 — чётное число.
- н) А — согласная.
Задание: Определи, являются ли эти предложения высказываниями. Если да, то истинными или ложными?
🎯 Практические задания
Попробуй применить полученные знания на практике!
✍️ Задание 1: Формулируй отрицания
Сформулируй отрицания высказываний "Последняя буква в слове 'логика' является гласной", "Число 5 является чётным" с речевым оборотом "Неверно, что". Какой ещё вариант отрицания исходных высказываний ты можешь предложить?
🔍 Задание 2: Составное высказывание со связкой И
Составь высказывание со связкой И, содержащее два простых высказывания. Составное высказывание со связкой И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящие в него простые высказывания.
Пример: "Число 324 делится на 7 И на 5" — ложное высказывание или истинное?
🎨 Задание 3: Исследуй историю логики
Рассмотрите следующие высказывания:
- "Основоположником алгебры логики является Джордж Буль"
- "Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике"
Сделайте вывод об истинности третьего высказывания, предварительно выяснив с помощью Интернета истинность первых двух высказываний.
🔄 Задание 4: Лейбниц и логика
Рассмотрите следующие высказывания:
- "Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу"
- "Лейбниц является основоположником бинарной арифметики"
- "Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу, или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики"
Сделайте вывод об истинности третьего высказывания, предварительно выяснив истинность первых двух.
