Общие сведения о системах счисления

Как люди научились считать

Давным-давно, когда не было смартфонов и калькуляторов (страшно представить, да?), людям всё равно нужно было считать: овец, урожай, деньги. И они придумали системы счисления — это правила, по которым мы записываем числа.

💡 Определение

Система счисления — это знаковая система, которая определяет правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

От зарубок до нуля

Самые первые люди считали просто: одна зарубка на палке = один предмет. Две зарубки = два предмета. Такую систему называют унарной (от слова «один»), потому что любое число — это просто повторение одного знака.

🤔 Представь себе!

Тебе нужно записать, что у тебя 3252 подписчика в TikTok. В унарной системе это было бы 3252 палочки! Неудобно, правда?

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

унарная система
непозиционные системы
позиционные системы

Два типа систем: позиционные и непозиционные

Непозиционные

📍 Место не важно!

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры не зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Пример: Римская система

Помнишь римские цифры из фильмов про гладиаторов? I, V, X, L, C, D, M — это непозиционная система!

Узловые числа:

I = 1, V = 5, X = 10
L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

Главное правило:

Если меньшая цифра стоит СЛЕВА от большей — вычитаем её, если СПРАВА — прибавляем.

Примеры:

IX = 9 (потому что 10 - 1)
XI = 11 (потому что 10 + 1)
XCIX = 99 (это 90 + 9)

Римскими цифрами до сих пор обозначают века, главы в книгах, иногда циферблаты на часах. Но попробуй на них умножить или поделить — nightmare! 😅

Позиционные

🎯 Место решает всё!

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её положения (места, позиции, разряда) в записи числа.

Пример: Десятичная система

Наша обычная система счисления — десятичная — это позиционная система. Мы используем цифры от 0 до 9.

В числе 355:

Первая 3 означает 3 сотни (300)
Цифра 5 (в середине) означает 5 десятков (50)
Последняя 5 означает 5 единиц (5)

Видишь? Одна и та же цифра 5 в разных местах значит разное!

Основание системы — это число, которое показывает, во сколько раз «весит» каждый следующий разряд.

В десятичной системе основание равно 10.

Одна и та же цифра может «весить» по-разному — всё зависит от её позиции!

Системы счисления в истории

Разные народы придумывали свои способы записи чисел. Давайте посмотрим, как это было!

От египетских иероглифов через славянские буквы — к современным цифрам!

🏛️ Египетская система — иероглифы для чисел

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою систему. Для чисел 1, 10, 100 и так далее они использовали специальные значки — иероглифы:

1 — вертикальная черта
10 — подкова
100 — спираль
1 000 — цветок лотоса
10 000 — палец
100 000 — лягушка
1 000 000 — человек с поднятыми руками

Чтобы записать число 3252, египтяне рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свёрнутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы).

⛪ Славянская система — буквы вместо цифр

Наши предки тоже были креативны! В Древней Руси числа записывали буквами славянского алфавита. Над буквой, обозначающей цифру, ставили специальный значок — титло.

Основные числа:

А (Аз) = 1
І (И) = 10
Р (Рцы) = 100
В (Веди) = 2
К (Како) = 20
С (Слово) = 200

Для записи тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч использовались те же буквы, но с добавленными специальными значками.

Пример: Числа 55, 288, 1 и 498 в славянской нумерации выглядели бы как: н҃є єп҃и, а҃ ухч҃и

В России славянская нумерация использовалась до конца XVII века. При Петре I пришла арабская нумерация, которой мы пользуемся сейчас. Но славянская система до сих пор сохранилась в богослужебных книгах.

Индийская мудрость: появление нуля

💡 Революция в математике

Самым важным достижением индийских математиков в V-VII веках было введение особого обозначения для пропуска разрядов — нуля.

Представь себе: арабы познакомились с этой нумерацией первыми, освоили и перенесли её в Европу. Получив название арабской, эта система в XII веке распространилась по всей Европе и стала использоваться повсеместно, вытеснив другие системы счисления.

🎯 Это важно!

Без нуля невозможно было бы развитие современной математики, а значит, и компьютеров, которыми мы пользуемся каждый день!

Позиционные системы: математика игр

Давайте разберёмся, как же работают позиционные системы счисления!

📐 Общие принципы

Существует множество позиционных систем счисления. Позиционная система счисления определяется основанием — любым целым числом q > 1.

Алфавитом позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, ..., q - 1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.

Любое число можно «развернуть» — показать, из чего оно состоит!

🔢 Математическая формула

В позиционной системе счисления с основанием q любое неотрицательное целое число может быть представлено в виде:

A_q = a_n-1 · q^n-1 + a_n-2 · q^n-2 + ... + a₀ · q⁰

Где:

A — число
q — основание системы счисления
a_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления
n — количество разрядов числа
qⁱ — «вес» i-го разряда

Развёрнутая форма

📖 Подробная запись

Запись числа по формуле выше называется развёрнутой формой записи.

Это когда мы показываем, из каких слагаемых состоит число.

Свёрнутая форма

📝 Короткая запись

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде a_n-1a_n-2...a₁a₀.

Это обычная запись числа, к которой мы привыкли.

💡 Пример: число 4351

Рассмотрим десятичное число 4351. Его свёрнутая форма настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

4 · 10³ + 3 · 10² + 5 · 10¹ + 1 · 10⁰

Как переводить числа из одной системы в другую

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления, необходимо записать исходное число в развёрнутой форме и вычислить значение получившегося арифметического выражения.

Машина-переводчик чисел: из одной системы в другую!

📊 Пример 3: Перевод из пятеричной системы в десятичную

Переведём в десятичную систему счисления число 1423₅, представленное в системе счисления с основанием 5.

Шаг 1: Построим развёрнутую запись числа 1423₅:

Разряды: 3 2 1 0

1423₅ = 1×5³ + 4×5² + 2×5¹ + 3×5⁰

Шаг 2: Вычислим значение выражения:

1 · 5³ + 4 · 5² + 2 · 5¹ + 3 · 5⁰ =

= 1 · 125 + 4 · 25 + 2 · 5 + 3 · 1 =

= 125 + 100 + 10 + 3 = 238

Итак, 1423₅ = 238₁₀

💡 Запомни!

Чтобы перевести число из системы с основанием q в десятичную систему, нужно:

Записать исходное число в развёрнутой форме
Вычислить значение получившегося арифметического выражения

📌 Самое главное

Давайте подведём итоги нашего путешествия в мир систем счисления:

Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков (цифр)

Непозиционная система — значение цифры не зависит от её места в числе (пример: римские цифры)

Позиционная система — значение цифры зависит от её позиции в числе (пример: наша десятичная система)

Позиционная система определяется основанием — числом q > 1. Алфавит такой системы — цифры от 0 до q - 1

В позиционной системе любое число можно представить в развёрнутой форме: как сумму произведений цифр на степени основания

Чтобы перевести число из системы с основанием q в десятичную, нужно записать его в развёрнутой форме и вычислить результат

🤔 Проверь себя

Проверьте, как хорошо вы усвоили материал!

1. Найди дополнительную информацию об унарной, позиционных и непозиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведи примеры.

Подумай о том, как в каждой системе значение цифры зависит (или не зависит) от её положения в числе.

2. Выясните с помощью Интернета, как слова «тьма», «легион», «леодр», «вран», «колода» связаны с темой «Системы счисления». Что они обозначают?

Эти древнеславянские слова обозначали очень большие числа!

3. Детективное задание: На постаменте памятника Петру I в Санкт-Петербурге римскими цифрами записан год открытия памятника: MDCCLXXXII. В каком году был открыт этот памятник?

Подсказка:

M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
I = 1

4. Почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения?

Подсказка: подумай о своих руках и ногах 🖐️ Сколько у тебя пальцев?

5. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Вспомни пример с числом 4351 и его разложением на разряды.

6. Запишите в развёрнутой форме числа: а) 143511₁₀; б) 143511₈; в) 143511₁₆

Помни: основание системы влияет на степени!

Для десятичной: ...×10³ + ...×10² + ...×10¹ + ...×10⁰

7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел: а) 172₈; б) 219₁₆; в) 101010₂; г) 243₆

Алгоритм:

Запиши число в развёрнутой форме
Вычисли значение выражения
Получишь десятичное число!

8. Сравни и найди ответ: Укажите, какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 16₁₆ является: а) наибольшим; б) наименьшим

Совет: Сначала переведи все числа в десятичную систему, а потом сравни!

9. Загадка минимального основания: Укажите минимальное основание системы счисления, в которой могут быть записаны числа 123, 222, 111, 241.

Подсказка: Основание должно быть больше, чем самая большая цифра в числе!

Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

10. Равенства — правда или ложь? Верны ли следующие равенства: а) 33₄ = 21₇; б) 33₇ = 21₄

Переведи обе части каждого равенства в десятичную систему и проверь!

11. Найди основание x системы счисления, если: а) 14ₓ = 9₁₀; б) 2002ₓ = 130₁₀

Метод:

Запиши развёрнутую форму и составь уравнение!

Например, для а): 1×x¹ + 4×x⁰ = 9

12. Круглое число: Какое двузначное в десятичной системе счисления число окажется «круглым» (с двумя нулями в конце) в пятеричной системе счисления?

Подсказка: «Круглое» число в пятеричной системе должно делиться на 25 (это 5²).

13. Построй граф: Нарисуй схему, отражающую разновидности систем счисления, которые мы изучили.

Подсказка для структуры:

Системы счисления → Унарная, Непозиционные, Позиционные
Примеры для каждого типа

🎯 Практические задания

Попробуй применить полученные знания на практике!

🏛️ Задание 1: Римские цифры

Запиши в римской системе счисления:

Свой год рождения
Текущий год
Номер твоей школы

Проверь себя: попроси друга перевести твои числа обратно!

🔢 Задание 2: Развёрнутая форма

Запиши число твоего дома в развёрнутой форме. Например, если ты живёшь в доме 247:

247 = 2×10² + 4×10¹ + 7×10⁰ =

= 2×100 + 4×10 + 7×1 = 247

🎮 Задание 3: Перевод чисел

Переведи в десятичную систему:

101₂ (двоичное)
123₅ (пятеричное)
1A₁₆ (шестнадцатеричное, где A=10)

Бонус: Какое из этих чисел больше?

🔍 Задание 4: Детектив систем счисления

Найди ошибку: Ученик написал, что 25₃ = 11₁₀. Прав ли он? Если нет, найди правильный ответ и объясни ошибку.

Подсказка: Разложи число по разрядам!

💪 Задачи повышенной сложности

Для тех, кто хочет испытать себя!

🧩 Задача 1: Магическое равенство

Найди все возможные значения основания x, при которых верно равенство:

12ₓ + 21ₓ = 33ₓ

Подсказка: Запиши каждое число в развёрнутой форме!

🎲 Задача 2: Числовая последовательность

В какой системе счисления выполняется равенство:

2 + 2 = 10

Объясни свой ответ!

🏆 Задача 3: Системный квест

Какое наименьшее основание q нужно выбрать, чтобы число 1000ᵩ было больше 100₁₀?

Метод решения:

Запиши 1000ᵩ в развёрнутой форме
Приравняй к условию > 100
Реши неравенство!

🔮 Задача 4: Числовой детектив

Вася зашифровал свой возраст в двоичной системе: 1110₂. Маша записала свой возраст в восьмеричной: 17₈. Кто из них старше и на сколько лет?

Совет: Сначала переведи оба возраста в десятичную систему!

🌟 Интересные факты

Несколько удивительных фактов о системах счисления!

🖥️ Компьютерный язык

Все компьютеры «думают» в двоичной системе (0 и 1). Это потому, что транзистор может быть либо включён (1), либо выключен (0).

🕐 12 или 10?

Мы измеряем время в двенадцатеричной системе (12 часов, 60 минут), а считаем деньги в десятичной. Наследие древних цивилизаций!

🧮 Вавилонская мудрость

Древние вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления (основание 60). От них нам достались 60 минут в часе и 360 градусов в круге!